分析 (1)由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由裂項(xiàng)相消法求出Tn,進(jìn)一步求得$\frac{1}{{T}_{n}}$,求出$\frac{1}{{T}_{n}}$的最大值,結(jié)合am>$\frac{1}{{T}_{n}}$對(duì)任意n∈N*恒成立求得正整數(shù)m的最小值.
解答 (1)證明:∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),
∵a1=1,a1+1=2≠0,∴數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
∴an+1=2×2n-1,則an=2n-1;
(2)解:∵cn=$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$,
∴Tn=$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})$=$\frac{n}{3(2n+3)}=\frac{n}{6n+9}$.
∴$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{6n+9}{n}=6+\frac{9}{n}$,n∈N*,則6+$\frac{9}{n}$≤15.
∴當(dāng)n=1時(shí),$\frac{1}{{T}_{n}}$取得最大值15.
要使得am>$\frac{1}{{T}_{n}}$對(duì)任意n∈N*恒成立,結(jié)合(1)的結(jié)果,只需2m-1>15,
由此得m>4.
∴正整數(shù)m的最小值是5.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ①②③ | B. | ①②④ | C. | ①③④ | D. | ②③④ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0,$\frac{π}{2}$,π,$\frac{3π}{2}$,2π | B. | 0,$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{4}$,π | C. | 0,$\frac{π}{8}$,$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{8}$,$\frac{π}{2}$ | D. | 0,$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$,$\frac{3π}{2}$,$\frac{2}{3}$π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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