Question

16．已知向量$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}=（0，1）$，其中O為坐標原點，動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k（\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}），k$為非負實數(shù)
（1）求動點M的軌跡C₁的方程
（2）若將曲線C₁向左平移一個單位得到曲線C₂，試指出C₂為何種類型的曲線；
（3）若0＜k＜1，F(xiàn)₁、F₂是（2）中曲線C₂的兩個焦點，當點P在C₂上運動時，求∠F₁PF₂取得最大值時對應點P的位置．

Answer 1

分析 （1）設M（x，y），動點M到定直線y=1的距離d=|y-1|，由題意可知：$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k（\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}），k$為非負實數(shù)，代入可得（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]，
（2）將曲線C₁向左平移一個單位得到曲線C₂，曲線${C_2}：（k-1）{（x）^2}-{y^2}=k-1$，分類k=0時，曲線${C_2}表示圓{x^2}+{y^2}=1$，$當0＜k＜1時，曲線{C_2}表示焦點在x軸上的橢圓{x^2}+\frac{y^2}{1-k}=1$，當k=1時，曲線C₂表示直線y=0，即表示x軸，$當k＞1時，曲線{C_2}表示焦點在x軸上的雙曲線{x^2}-\frac{y^2}{k-1}=1$；
（3）由題意可${F_1}（-\sqrt{k}，0），{F_2}（\sqrt{k}，0），直線P{F_1}的斜率為\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}，直線P{F_2}的斜率為\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}$，
由題意可知tan∠F₁PF₂=k=$\frac{2\sqrt{k}}{\frac{1-k}{y}-\frac{k}{1-k}y}$，由函數(shù)的單調性，即可求得即當P點位于短軸頂點，即P取$（{0，±\sqrt{1-k}}）$，時∠F₁PF₂最大．

解答 解：（1）設M（x，y），由向量$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}=（0，1）$，
動點M到定直線y=1的距離d=|y-1|，
由題意可知：$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=k（\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BM}-{d^2}），k$為非負實數(shù)，
∴（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]，
得出M的軌跡${C_1}：（k-1）{（x-1）^2}-{y^2}=k-1$；
（2）由（1）可知，將曲線C₁向左平移一個單位得到曲線C₂，
曲線${C_2}：（k-1）{（x）^2}-{y^2}=k-1$，
當k=0時，曲線${C_2}表示圓{x^2}+{y^2}=1$，
$當0＜k＜1時，曲線{C_2}表示焦點在x軸上的橢圓{x^2}+\frac{y^2}{1-k}=1$，
當k=1時，曲線C₂表示直線y=0，即表示x軸，
$當k＞1時，曲線{C_2}表示焦點在x軸上的雙曲線{x^2}-\frac{y^2}{k-1}=1$；
（3）由橢圓對稱性，不妨設橢圓上的任意一點為P（x，y）（y＞0），
易知${F_1}（-\sqrt{k}，0），{F_2}（\sqrt{k}，0），直線P{F_1}的斜率為\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}，直線P{F_2}的斜率為\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}$，
故$tan∠{F_1}P{F_2}=\frac{{\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}-\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}}}{{1+\frac{y}{{x-\sqrt{k}}}•\frac{y}{{x+\sqrt{k}}}}}=\frac{{2\sqrt{k}y}}{{{x^2}+{y^2}-k}}=\frac{{2\sqrt{k}y}}{{1-\frac{y^2}{1-k}+{y^2}-k}}=\frac{{2\sqrt{k}}}{{\frac{1-k}{y}-\frac{k}{1-k}y}}$，
令$f（y）=\frac{1-k}{y}-\frac{k}{1-k}y，則f（y）在（0，+∞）上遞減，而y∈（{0，\sqrt{1-k}}]$，
故$f（y）∈[{\sqrt{1-k}-\frac{k}{{\sqrt{1-k}}}，+∞}）$，
即當P點位于短軸頂點，即P取$（{0，±\sqrt{1-k}}）$，時∠F₁PF₂最大．

點評 本題考查曲線軌跡方程的求法，考查曲線的平移，橢圓及雙曲線的方程的應用，考查函數(shù)的單調性的應用，考查計算能力，屬于中檔題．