Question

3．設平面直角坐標系的原點為O，直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以O為極點，x軸正方向為極軸正方向建立極坐標系，兩坐標系的單位長度相等．動點M（ρ，θ）（ρ＞0）且ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$）．
（1）求直角坐標系下點M的軌跡C；
（2）求直線l被C截得的線段的長．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標的互化方法，求出動點M的直角坐標方程，即可得出直角坐標系下點M的軌跡C；
（2）直線方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離，即可求直線l被C截得的線段的長．

解答 解：（1）ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），可化為ρ=2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，
∴x²+y²=2x+2$\sqrt{3}$y，即（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
表示以（1，$\sqrt{3}$）為圓心，2為半徑的圓；
（2）直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為x+y-2-$\sqrt{3}$=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴直線l被C截得的線段的長=2$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$．

點評 本題考查極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化，考查圓心到直線的距離公式，屬于中檔題．