已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點. 過它的兩個焦點,分別作直線與,交橢圓于A、B兩點,交橢圓于C、D兩點,且.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求四邊形的面積的取值范圍.
(1);(2)
解析試題分析:(1)由離心率為可知,所以,再將點P的坐標代入橢圓方程得,故所求橢圓方程為 ;
(2)與垂直,可分為兩種情況討論:一是當與中有一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率為0;二是若與的斜率都存在;
當與中有一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率為0,此時四邊形的面積為;
若與的斜率都存在,設的斜率為,則的斜率為.直線的方程為,
設,,聯(lián)立,消去整理得,
(1),,
,
(2),注意到方程(1)的結(jié)構(gòu)特征,或圖形的對稱性,可以用代替(2)中的,
得 ,
,利用換元法,再利用對構(gòu)函數(shù)可以求出最值,令,, ,綜上可知,四邊形面積的.
試題解析:(1)由,所以, 2分
將點P的坐標代入橢圓方程得, 4分
故所求橢圓方程為 5分
(2)當與中有一條直線的斜率不存在,則另一條直線的斜率為0,
此時四邊形的面積為, 7分
若與的斜率都存在,設的斜率為,則的斜率為.直線的方程為,
設,,聯(lián)立,
消去整理得,
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知直線l:y=x+,圓O:x2+y2=5,橢圓E:=1(a>b>0)的離心率e=,直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線,若切線都存在斜率,求證:兩條切線的斜率之積為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,點P(0,-1)是橢圓C1:=1(a>b>0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑.l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l1交圓C2于A,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求當△ABD的面積取最大值時,直線l1的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
己知橢圓C:(a>b>0)的右焦點為F(1,0),點A(2,0)在橢圓C上,斜率為1的直線與橢圓C交于不同兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線過點F(1,0),求線段的長;
(3)若直線過點(m,0),且以為直徑的圓恰過原點,求直線的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知點、為雙曲線:的左、右焦點,過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點,且.圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓C:=1(a>b>0)上兩點,已知m=,n=,若m·n=0且橢圓的離心率e=,短軸長為2,O為坐標原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)試問△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為F2(1,0),點 在橢圓上.
(1)求橢圓方程;
(2)點在圓上,M在第一象限,過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點,問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值?如果是,求出定值,如不是,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線,點,過的直線交拋物線于兩點.
(1)若,拋物線的焦點與中點的連線垂直于軸,求直線的方程;
(2)設為小于零的常數(shù),點關于軸的對稱點為,求證:直線過定點
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com