Question

14．直線m：kx+y+4=0（k∈R） 是圓C：x²+y²+4x-4y+6=0的一條對稱軸，過點A（0，k）作斜率為1的直線n，則直線n被圓C所截得的弦長為（　　）

• A． $\sqrt{14}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 推導(dǎo)出直線m：kx+y+4=0（k∈R） 經(jīng)過圓C：x²+y²+4x-4y+6=0的圓心C（-2，2），從而求出A（0，3），進而求出直線n的方程，由此能求出直線n被圓C所截得的弦長．

解答 解：∵直線m：kx+y+4=0（k∈R） 是圓C：x²+y²+4x-4y+6=0的一條對稱軸，
∴直線m：kx+y+4=0（k∈R） 經(jīng)過圓C：x²+y²+4x-4y+6=0的圓心C（-2，2），
∴-2k+2+4=0，解得k=3，∴A（0，3），
∵過點A（0，k）作斜率為1的直線n，
∴直線n的方程為：y-3=x，即x-y+3=0，
圓心C（-2，2）直線n的距離d=$\frac{|-2-2+3|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
圓C的半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16-24}$=$\sqrt{2}$，
∴直線n被圓C所截得的弦長：
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-owiakym^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$．
故選：C．

點評 本題考查直線被圓截得的弦長的求法，考查圓、直線方程、點到直線距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．