Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin²x+sin²（x+α）+sin²（x+β），其中α，β是適合0≤α≤β≤π的常數(shù)
（1）若$α=\frac{π}{4}，β=\frac{3π}{4}$，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）f（x）是否可能為常值函數(shù)？若可能，求出f（x）為常值函數(shù)時(shí)，α，β的值，如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將$α=\frac{π}{4}，β=\frac{3π}{4}$帶入化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
（2）假設(shè)存在常數(shù)值，采用“賦值法”，特殊值，令f（0）=f（$\frac{π}{2}$），帶入計(jì)算求解在0≤α≤β≤π內(nèi)的常數(shù)即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin²x+sin²（x+α）+sin²（x+β），其中α，β是適合0≤α≤β≤π的常數(shù)
（1）∵$α=\frac{π}{4}，β=\frac{3π}{4}$，
則f（x）=sin²x+sin²（x+$\frac{π}{4}$）+sin²（$\frac{π}{4}$-x）=sin²x+1≥1
∴函數(shù)f（x）的最小值為1．
（2）假設(shè)存在常數(shù)值，f（0）=f（$\frac{π}{2}$），則sin²α+sin²β=1+cos²α+cos²β，
即2（sin²α+sin²β）=3，
∴sin²α+sin²β=$\frac{3}{2}$，
則cos²α+cos²β=$\frac{1}{2}$．
∴$α=\frac{π}{3}$，$β=\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和賦值法證明存在性問(wèn)題．屬于中檔題．