Question

18．△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，則下列結(jié)論錯誤的是（　　）

• A． |$\overrightarrow$|=1
• B． （$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$
• C． $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1
• D． |$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，然后逐一驗證四個選項得答案．

解答 解：∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，且$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，
∴$2\overrightarrow=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，則$|\overrightarrow|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|=1$，A正確；
∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}=\overrightarrow{AB}•\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+1$=$\frac{1}{2}×2×2×cos120°+1=0$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$，故B正確；
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0-|\overrightarrow{|}^{2}=-1$，故C錯誤；
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}=\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}}$
=$\sqrt{4+2×2×1×cos120°+1}$=$\sqrt{3}$，故D正確．
故選：C．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．