Question

7．對(duì)x∈R，定義函數(shù)sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$
（1）求方程x²-3x+1=sgn（x）的根；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=[sgn（x-2）]•（x²-2|x|），若關(guān)于x的方程f（x）=x+a有3個(gè)互異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，列出方程，逐一求解即可．
（2）求出函數(shù)的解析式，得到a的表達(dá)式，畫出圖象，通過a的范圍討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，sgn（x）=1，解方程x²-3x+1=1，得x=3（x=0不合題意舍去）；
當(dāng)x=0時(shí)，sgn（x）=0，0不是方程x²-3x+1=0的解；
當(dāng)x＜0時(shí)，sgn（x）=-1，解方程x²-3x+1=-1，得x=1或x=2（均不合題意舍去）．
綜上所述，x=3是方程x²-3x+1=sgn（x）的根．  …（6分）
（2）由于函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x\;，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\;}\\{-{x^2}+2x\;，\;\;0＜x＜2}\\{-{x^2}-2x\;，\;\;\;\;\;\;\;x≤0}\end{array}}\right.$，
則原方程轉(zhuǎn)化為：$a=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-3x\;，\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\\-{x^2}+x\;，\;\;0＜x＜2\\-{x^2}-3x\;，\;\;\;\;\;\;x≤0\end{array}\right.$．
數(shù)形結(jié)合可知：
①當(dāng)a＜-2時(shí)，原方程有1個(gè)實(shí)根；
②當(dāng)a=-2時(shí)，原方程有2個(gè)實(shí)根；
③當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，原方程有3個(gè)實(shí)根；
④當(dāng)a=0時(shí)，原方程有4個(gè)實(shí)根；
⑤當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{4}$時(shí)，原方程有5個(gè)實(shí)根；
⑥當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時(shí)，原方程有4個(gè)實(shí)根；
⑦當(dāng)$\frac{1}{4}＜a＜\frac{9}{4}$時(shí)，原方程有3個(gè)實(shí)根；
⑧當(dāng)$a=\frac{9}{4}$時(shí)，原方程有2個(gè)實(shí)根；
⑨當(dāng)$a＞\frac{9}{4}$時(shí)，原方程有1個(gè)實(shí)根．
故當(dāng)$a∈（\;-2\;，\;0\;）∪（\;\frac{1}{4}\;，\;\frac{9}{4}\;）$時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x+a有3個(gè)互異的實(shí)根．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．