Question

4．若函數(shù)f（x）=e^x（sinx+acosx）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，1）
• C． [1，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 f（x）=e^x（sinx+acosx）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，求導(dǎo)，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：∵f（x）=e^x（sinx+acosx）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=e^x[（1-a）sinx+（1+a）cosx]≥0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∵e^x＞0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴（1-a）sinx+（1+a）cosx≥0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴a（sinx-cosx）≤sinx+cosx在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立
∴a≤$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$，
設(shè)g（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}$，
∴g′（x）=$\frac{-2}{（sinx-cosx）^{2}}$＜0在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴g（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＞g（$\frac{π}{2}$）=1，
∴a≤1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系，關(guān)鍵是分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．