Question

11．棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AA₁的中點(diǎn)，則平面EFG截球O所得圓的半徑為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球球心O為對角線AC₁的中點(diǎn)，球半徑$R=\sqrt{3}$，球心O到平面EFG的距離為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，利用勾股定理求出小圓半徑．

解答 解：由題意，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球球心O為對角線AC₁的中點(diǎn)，正方體對角線長為2$\sqrt{3}$
所以球半徑$R=\sqrt{3}$，
因?yàn)锳到平面EFG的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以球心O到平面EFG的距離為$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
所以小圓半徑$r=\sqrt{{R^2}-{{（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查平面EFG截球O所得圓的半徑及球的內(nèi)接多面體問題，找準(zhǔn)量化關(guān)系是關(guān)鍵．