Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}-{a_n}=4n+1（{n∈{N^*}}）$，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${b_n}=\frac{{4n（{n+1}）}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，證明$\frac{4}{3}≤{S_n}＜2$．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁．得到通項(xiàng)公式．
（2）化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和，即可證明結(jié)果．

解答 解：（1）由于${a_{n+1}}-{a_n}=4n+1（{n∈{N^*}}）$，∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+$（{{a_3}-{a_2}}）+（{{a_2}-{a_1}}）+{a_1}=4n-3+（{4n-7}）+…+5+1=\frac{{n（{4n-2}）}}{2}=2{n^2}-n$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=2{n^2}-n$．
（2）證明：由${a_n}=2{n^2}-n$，可得${b_n}=\frac{{4n（{n+1}）}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{4}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=2（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
則${S_n}=2（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）=2（{1-\frac{1}{2n+1}}）$，
因?yàn)?0＜\frac{1}{2n+1}≤\frac{1}{3}$，
故$\frac{4}{3}≤{S_n}＜2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，遞推關(guān)系式以及通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和，考查分析問題解決問題的能力．