3.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)棱PD=a,PA=PC=$\sqrt{2}$a,
(1)求證:PD⊥平面ABCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(3)若E是PC的中點(diǎn),求二面角E-BD-C的正切值.

分析 (1)由勾股定理得:PD⊥DC,PD⊥AD,再由線面垂直的判定定理,可得PD⊥平面ABCD;
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD,結(jié)合底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,可得AC⊥平面PDB,再由面面垂直的判定定理,可得:平面PAC⊥平面PBD;
(3)過點(diǎn)E作EF⊥CD于F,過F作HF⊥BD于H,故∠FHE為二面角E-BD-C的平面角,解得:二面角E-BD-C的正切值.

解答 證明:(1)∵PD=a,DC=a,PC=$\sqrt{2}$a,
∴PC2=PD2+DC2
∴PD⊥DC.
同理可證PD⊥AD,又AD∩DC=D,
∴PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AC,而四邊形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,又BD∩PD=D,
∴AC⊥平面PDB.
同時(shí),AC?平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)過點(diǎn)E作EF⊥CD于F,過F作HF⊥BD于H,

故∠FHE為二面角E-BD-C的平面角.
在Rt△EFH中,tan∠FHE=$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線面垂直的判定,面面垂直的判定,二面角的平面角及求解,難度中檔.

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