已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，、、是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值.

（1）橢圓的方程為；（2）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）先根據(jù)題中條件求出、、，進(jìn)而可以求出橢圓的方程；（2）先由直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由、、三點(diǎn)共線(xiàn)，利用平面向量共線(xiàn)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，于是得到直線(xiàn)的斜率，最終證明為定值.
試題解析：（1）由直線(xiàn)與圓得，
由，得，所以，
所以橢圓的方程為；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/10/c/qeouu2.png" style="vertical-align:middle;" />，不為橢圓定點(diǎn)，即的方程為，①②
將①代入，解得，
又直線(xiàn)的方程為， ②
由、、三點(diǎn)共線(xiàn)可得，
所以的斜率為，則（定值）.
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線(xiàn)與橢圓的公共點(diǎn)的求解；3.直線(xiàn)的斜率；4.三點(diǎn)共線(xiàn)

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果一個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,),且以點(diǎn)F(2,0)為它的一個(gè)焦點(diǎn).
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）中求過(guò)點(diǎn)F(2,0)的弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和 的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：











（Ⅰ）求分別適合的方程的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖已知橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸是短軸的2倍且過(guò)點(diǎn)，平行于的直線(xiàn)在y軸的截距為，且交橢圓與兩點(diǎn)，

（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍；（3）求證：直線(xiàn)、與x軸圍成一個(gè)等腰三角形，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)，且．
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）以雙曲線(xiàn)的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線(xiàn)相切，圓.過(guò)點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線(xiàn)和，設(shè)被圓截得的弦長(zhǎng)為，被圓截得的弦長(zhǎng)為，問(wèn)：是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且｜F1F2｜＝2，點(diǎn)P（1，）在橢圓C上.

（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動(dòng)直線(xiàn)：與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，且，，四邊形面積S的求最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率．
（I）求橢圓的方程；（II）已知直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線(xiàn)相交于點(diǎn)．求證：以線(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

拋物線(xiàn)M： 的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)橢圓N： 的左焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線(xiàn)M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，直線(xiàn)AB與x軸相交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線(xiàn)M的方程.
（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x1，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x2，曲線(xiàn)M上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x1+2，求直線(xiàn)CD的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

（1）設(shè)，證明：；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程是，過(guò)、兩點(diǎn)的圓C與拋物線(xiàn)在點(diǎn)A處有共同的切線(xiàn)，求圓C的方程.

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