Question

19．過點C（0，$\sqrt{2}$）的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓與x軸交于兩點A（a，0），B（-a，0），過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P，直線AC與BD交于點Q．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長；
（3）當(dāng)點P異于點B時，求證：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由過點C（0，$\sqrt{2}$）的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）橢圓的右焦點為（$\sqrt{2}$，0），直線l的方程為y=-x+$\sqrt{2}$，代入橢圓方程化簡，得$3{x}^{2}-4\sqrt{2}x=0$，由此能求出|CD|．
（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時，與題意不符．當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=kx+$\sqrt{2}$，（k≠0，且k≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入橢圓方程，化簡得（2k²+1）x²+4$\sqrt{2}kx$=0，求出D（$\frac{-4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}，\frac{-2\sqrt{2}{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}$），從而得到k_BD，進而求出直線BD的方程，再由直線AC的方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}k+1}{\sqrt{2}-2k}（x+2）}\\{\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{2}}=1}\end{array}\right.$，求出Q（-2$\sqrt{2}k$，2k+$\sqrt{2}$），由l方程得P（-$\frac{\sqrt{2}}{k}$，0），由此能證明$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$為定值．

解答 解：（1）∵過點C（0，$\sqrt{2}$）的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）橢圓的右焦點為（$\sqrt{2}$，0），
此時直線l的方程為y=-x+$\sqrt{2}$，
代入橢圓方程化簡，得$3{x}^{2}-4\sqrt{2}x=0$，
解得${x}_{1}=0，{x}_{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
代入直線l的方程，得${y}_{1}=\sqrt{2}$，y₂=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴|CD|=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{2}}{3}-0）^{2}+（-\frac{\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{8}{3}$．
證明：（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時，
∵橢圓與x軸交于兩點A（a，0），B（-a，0），∴AC∥BD，與題意不符．
設(shè)直線l的方程為y=kx+$\sqrt{2}$，（k≠0，且k≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
代入橢圓方程，化簡得（2k²+1）x²+4$\sqrt{2}kx$=0，
解得${x}_{1}=0，{x}_{2}=\frac{-4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}$，
代入直線l的方程，得${y}_{1}=\sqrt{2}$，${y}_{2}=\frac{-2\sqrt{2}{k}^{2}+\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}$，
∴D（$\frac{-4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}，\frac{-2\sqrt{2}{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}$），
∴k_BD=$\frac{\frac{-2\sqrt{2}{k}^{2}+\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}}{\frac{-4\sqrt{2}k}{2{k}^{2}+1}+2}$=$\frac{\sqrt{2}（1-2{k}^{2}）}{2-4\sqrt{2}k+4{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}（1-\sqrt{2}k）（1+\sqrt{2}k）}{（\sqrt{2}-2k）^{2}}$
=$\frac{（\sqrt{2}-2k）（1+\sqrt{2}k）}{（\sqrt{2}-2k）^{2}}$=$\frac{1+\sqrt{2}k}{\sqrt{2}-2k}$，
∴直線BD的方程為y=$\frac{\sqrt{2}k+1}{\sqrt{2}-2k}$（x+2），
又直線AC的方程為$\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{2}}=1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}k+1}{\sqrt{2}-2k}（x+2）}\\{\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{2}}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}k}\\{y=2k+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，∴Q（-2$\sqrt{2}k$，2k+$\sqrt{2}$），
又由l方程得P（-$\frac{\sqrt{2}}{k}$，0），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{k}，0$）•（-2$\sqrt{2}k$，2k+$\sqrt{2}$）=4．
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$為定值4．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查線段長的求法，考查向量數(shù)量積為定值的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線方程、向量數(shù)量積等知識點的合理運用．