Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=8cosθ．
（1）寫(xiě)出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（-1，0）且與直線l平行的直線l₁交C于A，B兩點(diǎn)；
①求|AB|的值；
②求|PA|+|PB|的值；
③若線段AB的中點(diǎn)為Q，求|PQ|的值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法，即可寫(xiě)出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（-1，0）且與直線l平行的直線l₁的方程為x-y+1=0，求出弦心距，聯(lián)立直線方程，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)，可得普通方程l：x-y-2=0；
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=8cosθ，即ρ²=8ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為 x²+y²=8x，即：（x-4）²+y²=16
（2）過(guò)點(diǎn)P（-1，0）且與直線l平行的直線l₁的方程為x-y+1=0，
①圓心到直線的距離d=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，∴|AB|=2$\sqrt{16-\frac{25}{2}}$=$\sqrt{14}$；
②設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則|PQ|=$\sqrt{25-\frac{25}{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，
∴|PA|+|PB|=2|PQ|=$5\sqrt{2}$；
③由（2）知$|PQ|=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，直線CQ的方程為x+y-4=0，與x-y+1=0聯(lián)立，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)$Q（\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．