4.已知橢圓中心在原點,焦點在y軸上,且過點A(0,1),離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,設(shè)直線方程為y=x+m.
(Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
(Ⅱ)當(dāng)m為何值時,直線與橢圓有公共點?
(Ⅲ)若直線被橢圓截得的弦長為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$,求直線的方程.

分析 (Ⅰ)由已知,求出a,b,c的值,可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)將直線的方程y=x+m與橢圓的方程4x2+y2=1聯(lián)立,得到5x2+2mx+m2-1=0,利用△=-16m2+20≥0即可求得m的取值范圍;
(Ⅲ)利用兩點間的距離公式,再借助于韋達定理即可得到:兩交點AB之間的距離|AB|=$\sqrt{2}$ $\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$,從而可求得m的值.

解答 (本小題滿分10分)
解:(Ⅰ)∵橢圓中心在原點,焦點在y軸上,且過點A(0,1),離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴a=1,$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴c=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴b=$\frac{1}{2}$,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:${y}^{2}+\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$,即4x2+y2=1:
(Ⅱ)把直線y=x+m代入橢圓方程得:4x2+(x+m)2=1
即:5x2+2mx+m2-1=0,
△=(2m)2-4×5×(m2-1)=-16m2+20≥0
解得:-$\frac{\sqrt{5}}{2}$≤m≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
(Ⅲ)設(shè)該直線與橢圓相交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1,x2是方程5x2+2mx+m2-1=0的兩根,
由韋達定理可得:x1+x2=-$\frac{2m}{5}$,x1•x2=$\frac{{m}^{2}-1}{5}$,
∴|AB|=$\sqrt{2}$ $\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2[(-\frac{2m}{5})^{2}-4×\frac{{m}^{2}-1}{5})}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$;
∴m=0.
∴直線的方程為y=x.

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系與弦長問題,難點在于弦長公式的靈活應(yīng)用,屬于中檔題.

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