Question

12．已知函數(shù)f（x）=1+$\frac{4}{x}$，g（x）=log₂x；
設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）求函數(shù)h（x）在區(qū)間[2，4]上的值域；
定義min{p，q}表示p，q中較小者，設(shè)函數(shù)H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）
①求函數(shù)H（x）的最大值；
②若函數(shù)y=H（x）-k有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷h（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，計(jì)算即可得到所求值域；
（2）①求出函數(shù)H（x）=min{f（x），g（x）}的分段函數(shù)，討論單調(diào)性，可得最大值；
②若函數(shù)y=H（x）-k有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程H（x）=k有兩個(gè)實(shí)根；作出函數(shù)H（x）的大致圖象，即可得到所求k的范圍．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)h（x）=g（x）-f（x）=log₂x-1-$\frac{4}{x}$
在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)h（x）的值域?yàn)閇-2，0]；-----------（4分）
（2）①函數(shù)H（x）=min{f（x），g（x）}=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，0＜x≤4}\\{1+\frac{4}{x}，x＞4}\end{array}\right.$，
顯然，函數(shù)H（x）在區(qū)間（0，4]上單調(diào)遞增，在區(qū)間（4，+∞）上單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)H（x）的最大值為H（4）=2-------------（8分）
②若函數(shù)y=H（x）-k有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程H（x）=k有兩個(gè)實(shí)根；
作出函數(shù)H（x）的大致圖象，可知k的取值范圍是1＜k＜2-----------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域及最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．