2.已知P為拋物線y2=6x上一點(diǎn),點(diǎn)P到直線l:3x-4y+26=0的距離為d1
(1)求d1的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P到拋物線的距離為d2,求d1+d2的最小值.

分析 (1)設(shè)$P(\frac{y_0^2}{6},{y_0})$,求出點(diǎn)P到直線l:3x-4y+26=0的距離為d1,利用配方法求出最小值,可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則$F(\frac{3}{2},0)$,且d2=|PF|,d1+d2=d1+|PF|,它的最小值為點(diǎn)F 到直線l 的距離.

解答 解:(1)設(shè)$P(\frac{y_0^2}{6},{y_0})$,則${d_1}=\frac{{|\frac{1}{2}y_0^2-4{y_0}+26|}}{5}=\frac{1}{10}|{({y_0}-4)^2}+36|$,
當(dāng)y0=4 時(shí),(d1min=3.6,此時(shí)${x_0}=\frac{y_0^2}{6}=\frac{8}{3}$,∴當(dāng)$P(\frac{8}{3},4)$ 時(shí),(d1min=3.6.
(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則$F(\frac{3}{2},0)$,且d2=|PF|,
∴d1+d2=d1+|PF|,它的最小值為點(diǎn)F 到直線l 的距離$\frac{{|\frac{9}{2}+26|}}{5}=6.1$.
∴(d1+d2min=6.1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與定義,考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.

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12.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和函數(shù)g(x)=$\frac{bx-1}{{a}^{2}x+2b}$,
(1)若f(x)為偶函數(shù),試判斷g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有兩個(gè)不等的實(shí)根x1,x2(x2<x2),則
①試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是否具有單調(diào)性,并說明理由;
②若方程f(x)=0的兩實(shí)根為x3,x4(x3<x4)求使x1<x2<x3<x4成立的a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.已知函數(shù)f(x)=|x-2|+2|x+1|.
(1)解不等式f(x)>4;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=$\frac{lnx}{1-x}$,ϕ(x)=(x-1)2•f′(x)
(1)若函數(shù)ϕ(x)在區(qū)間(3m,m+$\frac{1}{2}$)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若對(duì)任意的x∈(0,1),恒有(1+x)•f(x)+2a<0(a>0),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1).
(1)求拋物線C的方程;
(2)若一個(gè)等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,求該等邊三角形的面積;
(3)過點(diǎn)M作拋物線C的兩條弦MA,MB,設(shè)MA,MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1k2=-2時(shí),試證明直線AB恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$(α為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ+1=0.
(1)寫出圓C的普通方程;
(2)將直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(3)過直線l的任意一點(diǎn)P作直線與圓C交于A,B兩點(diǎn),求|PA|•|PB|的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.隨機(jī)調(diào)查高河鎮(zhèn)某社區(qū)80個(gè)人,以研究這一社區(qū)居民在20:00--22:00時(shí)間段的休閑方式與性別的關(guān)系,得到下面的數(shù)據(jù)表:
休閑方式
性別
看電視看書合計(jì)
105060
101020
合計(jì)206080
(1)從這80人中按照性別進(jìn)行分層抽樣,抽出4人,則男女應(yīng)各抽取多少人;
(2)從第(1)問抽取的4位居民中隨機(jī)抽取2位,恰有1男1女的概率是多少;
(3)由以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認(rèn)為在20:00-22:00時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系.
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k00.150.100.050.0250.010
k02.0722.7063.8415.0246.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.在△ABC中,A=60°,且$\frac{c}$=$\frac{4}{3}$,則sinC=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$.

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12.某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況,抽取甲、乙兩班,調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間(單位:小時(shí)),統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分別直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同,甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2,4]的有8人.

(Ⅰ)求直方圖中a的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[10,12]的人數(shù);
(Ⅱ)從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試,設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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