16.已知PQ是半徑為1的圓A的直徑,B,C為不同于P,Q的兩點(diǎn),如圖所示,記∠PAB=θ.
(1)若BC=$\sqrt{2}$,求四邊形PBCQ的面積的最大值;
(2)若BC=1,求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$的最大值.

分析 (1)根據(jù)條件可得到$∠BAC=\frac{π}{2}$,進(jìn)而得出$∠CAQ=\frac{π}{2}-θ$,由三角形面積公式即可求出${S}_{四邊形PBCQ}=\frac{1}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ+\frac{1}{2}$,由兩角和的正弦公式即可得到${S}_{四邊形PBCQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}sin(θ+\frac{π}{4})+\frac{1}{2}$,從而求出四邊形PBCQ的面積的最大值;
(2)由條件可得到$∠BAC=\frac{π}{3},∠PAC=\frac{π}{3}+θ$,而$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$,代入$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,然后化簡即可得出$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=sin(θ+\frac{π}{6})-\frac{1}{2}$,從而得出該數(shù)量積的最大值.

解答 解:(1)∵$AB=AC=1,BC=\sqrt{2}$,∴∠BAC=$\frac{π}{2}$;
由∠PAB=θ得∠CAQ=$\frac{π}{2}-θ$;
∴S四邊形PBCQ=S△PAB+S△ABC+S△CAQ
=$\frac{1}{2}sinθ+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sin(\frac{π}{2}-θ)$
=$\frac{1}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin(θ+\frac{π}{4})+\frac{1}{2}$;
∵$0<θ<\frac{π}{2}$,∴當(dāng)$θ=\frac{π}{4}$時(shí),S四邊形PBCQ取得最大值$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$;
(2)當(dāng)BC=1時(shí),∠BAC=$\frac{π}{3}$,∠PAC=$\frac{π}{3}+θ$;
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})•(\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC})$
=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=-1$-cos(\frac{π}{3}+θ)+cosθ+\frac{1}{2}$
=$-\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ+cosθ-\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ+\frac{1}{2}cosθ-\frac{1}{2}$
=$sin({θ+\frac{π}{6}})-\frac{1}{2}$;
∵$0<θ<\frac{2π}{3}$;
∴$θ=\frac{π}{3}$時(shí),$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$取得最大值$\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評 考查三角形的面積公式,兩角和的正余弦公式,三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,以及正弦函數(shù)的最值.

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