Question

6．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），橢圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（1）將直線l的參數方程化為極坐標方程；
（2）設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）消去t，可得直線的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得極坐標方程；
（2）將橢圓參數方程化為普通方程，再將直線參數方程代入橢圓方程，解方程可得t，由參數的幾何意義，即可得到所求弦長．

解答 解：（1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），
可得l的普通方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得極坐標方程：$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ-$\sqrt{3}$=0；
（2）由橢圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
由sin²θ+cos²θ=1，可得橢圓C的普通方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
將直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），代入x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
得（1+$\frac{1}{2}$t）²+$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}t）^{2}}{4}$=1，
即7t2+16t=0，解得t₁=0，t₂=-$\frac{16}{7}$，
所以|AB|=|t₁-t₂=$\frac{16}{7}$．

點評 本題考查參數方程和極坐標方程的互化，以及直線參數方程的運用，考查直線和橢圓的位置關系，屬于中檔題．