Question

7．如圖，長寬高分別為a、b、c的長方體的六條面對角線組成等腰四面體ABCD．
（1）求證等腰四面體ABCD的每個面都是銳角三角形；
（2）求等腰四面體的體積及其外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，即可證明；
（2）利用割補法求體積，求出外接球半徑，即可求出外接球的表面積．

解答 （1）證明：易知四個面是全等的三角形．
三邊長分別為$x=\sqrt{{b^2}+{c^2}}$，$y=\sqrt{{c^2}+{a^2}}$，$z=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，
不妨設a≤b≤c，則最大邊x所對角θ 的余弦值$cosθ=\frac{{{y^2}+{z^2}-{x^2}}}{2yz}=\frac{a^2}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}\sqrt{{c^2}+{a^2}}}}＞0$
∴θ 為銳角，
∴三角形為銳角三角形．（4分）
（2）解：體積$V=abc-4×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc=\frac{1}{3}abc$（7分）
外接球半徑$R=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}\sqrt{{a^2}+{b^2}+{c^2}}$
外接球的表面積S=4πR²=π（a²+b²+c²）．（10分）

點評 本題考查余弦定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．