Question

9．如圖，四邊形ABCD是矩形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且AD=2，NB=1，CD=MD=3．
（1）過B作平面BFG∥平面MNC，平面BFG與CD、DM分別交于F、G，求AF與平面MNC所成角的正弦值；
（2）E為直線MN上一點，且平面ADE⊥平面MNC，求$\frac{ME}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）作出圖形，以D為原點，DA，DC，DM所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面MNC的一個法向量，即可求AF與平面MNC所成角的正弦值；
（2）E為直線MN上一點，且平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，即可求$\frac{ME}{MN}$的值．

解答 解：（1）當CF=MG=1時，平面BFG∥平面MNC．
證明：連接BF，F(xiàn)G，GB，∵BN=GM=1，BN∥GM，∴四邊形BNMG是平行四邊形，∴BG∥NM，∵CD=MD，CF=MG，∴FG∥CM，∵BG∩FG=G，∴平面BFG∥平面MNC，
以D為原點，DA，DC，DM所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系（如圖），則A（2，0，0），C（0，3，0），F(xiàn)（0，2，0），M（0，0，3），N（2，3，1），∴$\overrightarrow{AF}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{MN}$=（2，3，-2），$\overrightarrow{MC}$=（0，3，-3），
設(shè)平面MNC的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-2z=0\\ 3y-3z=0\end{array}\right.$令y=2，則z=2，x=-1，∴$\overrightarrow{n}$=（-1，2，2），
設(shè)AF與平面MNC所成角為θ，則$sinθ=cos\left?{AF，n}\right＞=\frac{2+4}{{2\sqrt{2}×3}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）設(shè)E（a，b，c），$\frac{ME}{MN}=λ$，則$\overrightarrow{ME}$=λ$\overrightarrow{MN}$，
∵$\overrightarrow{ME}$=（a，b，c-3），$\overrightarrow{MN}$=（2，3，-2），∴點E的坐標為（2λ，3λ，3-2λ），
∵AD⊥平面MDC，∴AD⊥MC，
欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，
∵$\overrightarrow{AE}$=（2λ-2，3λ，3-2λ），$\overrightarrow{MC}$=（0，3，-3），∴9λ-3（3-2λ）=0，得$λ=\frac{3}{5}$，∴$\frac{ME}{MN}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查空間線面角、線面位置關(guān)系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．