Question

19．直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ-2sinθ．
（1）求C的參數(shù)方程；
（2）若點(diǎn)A在圓C上，點(diǎn)B（3，0），求AB中點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離平方的最大值．

Answer 1

分析 （1）已知極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，利用ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，化簡(jiǎn)方程得直角坐標(biāo)方程，即可求C的參數(shù)方程；
（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，求AB中點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離平方的最大值．

解答 解：（1）極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，可得ρ²=4ρcosθ-2ρsinθ，
化為直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-4x-2y=0，即（x-2）²+（y+1）²=5，
參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosα}\\{y=-1+\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）；
（2）設(shè)P（x，y），A（m，n），則m=2x-3，n=2y，
∴x²+y²=$\frac{（5+\sqrt{5}cosα）^{2}}{4}$+$\frac{（-1+\sqrt{5}sinα）^{2}}{4}$=$\frac{31-2\sqrt{5}（sinα-5cosα）}{4}$=$\frac{31-2\sqrt{130}sin（α-θ）}{4}$
∴sin（α-θ）=-1，AB中點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離平方的最大值為$\frac{31+2\sqrt{130}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查計(jì)算能力．