Question

17．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.{\;}_{\;}^{\;}$（t為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）．
（1）若C₁與C₂相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|；
（2）若把曲線C₂上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，得到曲線C₃，設(shè)點(diǎn)P是曲線C₃上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到曲線C₁的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=1得t²+t=0，利用參數(shù)的意義求|AB|；
（2）求出曲線C₃，利用參數(shù)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，即可求它到曲線C₁的距離的最大值．

解答 解：（1）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=1得t²+t=0，∴|AB|=|t₁-t₂|=1
（2）C₁：y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂：x²+y²=1；C₃：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
因此設(shè)$P（2cosα，sinα）⇒d=\frac{{|{2\sqrt{3}cosα-sinα-\sqrt{3}}|}}{2}=\frac{{|{\sqrt{13}sin（α+β）-\sqrt{3}}|}}{2}$
因此${d_{max}}=\frac{{\sqrt{13}+\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查參數(shù)的運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．