12.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,BC=6,PA=AD=CD=2,E為BC上一點且BE=$\frac{2}{3}$BC,PB⊥AE.
(1)求證:AB⊥PE;
(2)求二面角B-PC-D的余弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出PA⊥AE,AE⊥AB.由此能證明AB⊥PE.
(2)以A為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值.

解答 證明:(1)∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,
∴PA⊥AE,
又∵PB⊥AE,PB∩PA=P,
∴AE⊥平面PAB,又∵AB?平面PAB,
∴AE⊥AB.
又∵PA⊥AB,PA∩AE=A,
∴AB⊥平面PAE,
又∵PE?平面PAE,
∴AB⊥PE.…(6分)
解:(2)以A為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則B(2$\sqrt{3}$,0,0),P(0,0,2),C(-$\sqrt{3}$,3,0),D(-$\sqrt{3}$,1,0),
∴$\overrightarrow{BC}$=(-3$\sqrt{3}$,3,0),$\overrightarrow{PC}$=(-$\sqrt{3}$,3,-2),$\overrightarrow{DC}$=(0,2,0).
設(shè)平面PBC的一個法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-3\sqrt{3}x+3y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-\sqrt{3}x+y-2z=0}\end{array}\right.$,令x=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$).
同理可求平面PCD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=(2,0,-$\sqrt{3}$).
∴cos?m,n>=$\frac{m•n}{|m||n|}$=$\frac{-1}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{7}$.
∵二面角B-PC-D為鈍二面角,
∴二面角B-PC-D的余弦值為-$\frac{1}{7}$.…(12分)

點評 本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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(Ⅱ)記M=$\left\{\begin{array}{l}{a,b<a}\\{b,b≥a}\end{array}\right.$,A=$\frac{a+b}{2}$,求實數(shù)λ的取值范圍,使得方程f(x)=$\frac{λ}{x-A}$+A在區(qū)間(M,+∞)上無解.

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