17.已知函數(shù)f(x)=x+$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$(a,b為實常數(shù)).
(Ⅰ)若a+b=0,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并加以證明;
(Ⅱ)記M=$\left\{\begin{array}{l}{a,b<a}\\{b,b≥a}\end{array}\right.$,A=$\frac{a+b}{2}$,求實數(shù)λ的取值范圍,使得方程f(x)=$\frac{λ}{x-A}$+A在區(qū)間(M,+∞)上無解.

分析 (Ⅰ)利用奇函數(shù)的定義,即可證明結論;
(Ⅱ)不妨設a≤b,則M=b,x-A>0,方程f(x)=$\frac{λ}{x-A}$+A等價于[x-A+$\frac{2(x-A)}{(x-a)(x-b)}$](x-A)=λ.令$\frac{b-a}{2}$=d,t=(x-A)2>$(\frac{b-a}{2})^{2}$=d2>0,則$\frac{{t}^{2}+(2-6o24cyy^{2})t}{t-0qy2ggs^{2}}$=λ.令u=t-d2,則λ=u+$\frac{2amssmya^{2}}{u}$+2+d2≥2$\sqrt{2}$d+2+d2=$(\frac{b-a}{2}+\sqrt{2})^{2}$,即可得出結論.

解答 解:(Ⅰ)易知函數(shù)定義域關于原點對稱.
∵a+b=0,∴$f(x)=x+\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x+a}$$f(-x)=-x+\frac{1}{-x-a}+\frac{1}{-x+a}=-f(x)$
∴f(x)為奇函數(shù); …(5分)
(Ⅱ)不妨設a≤b,則M=b,x-A>0,方程f(x)=$\frac{λ}{x-A}$+A等價于[x-A+$\frac{2(x-A)}{(x-a)(x-b)}$](x-A)=λ.
令$\frac{b-a}{2}$=d,則x-a=(x-A)=d,x-b=(x-A)+d,
∴(x-A)2[1+$\frac{2}{[(x-A)-d]•[(x-A)+d]}$=λ,
令t=(x-A)2>$(\frac{b-a}{2})^{2}$=d2>0,則$\frac{{t}^{2}+(2-4cakqo2^{2})t}{t-ugckii4^{2}}$=λ.
令u=t-d2,則λ=u+$\frac{2e24wyyk^{2}}{u}$+2+d2≥2$\sqrt{2}$d+2+d2=$(\frac{b-a}{2}+\sqrt{2})^{2}$,
當且僅當u=$\frac{2eyueue4^{2}}{u}$,即t=$\sqrt{2}d+kykssu4^{2}$,x=$\frac{b+a}{2}+\frac{\sqrt{(b-a)^{2}+2\sqrt{2}(b-a)}}{2}$∈(b,+∞)時取等號,
∵方程f(x)=$\frac{λ}{x-A}$+A在區(qū)間(M,+∞)上無解,
∴λ<$(\frac{b-a}{2}+\sqrt{2})^{2}$.

點評 本題考查奇函數(shù)的定義,考查方程f(x)=$\frac{λ}{x-A}$+A在區(qū)間(M,+∞)上無解,考查學生轉化問題的能力,難度大.

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