Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）當(dāng)e≤x≤e²時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）已知函數(shù)g（x）=2x-$\frac{ax（x-1）}{lnx}$，且f（x）g（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的值；
（3）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：存在正實數(shù)m、n（m＜n），使mⁿ=n^m，試問：他的發(fā)現(xiàn)是否正確？若不正確，則請說明理由；若正確，則請直接寫出m的取值范圍，而不需要解答過程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$．令f'（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$=0，得x=e．由此列表討論經(jīng)，能求出函數(shù)f（x）的最小值．
（2）f（x） g（x）≤0恒成立，即2ln x-ax+a≤0在x＞0時恒成立．令h（x）=f（x） g（x），則h′（x）=$\frac{2-ax}{x}$，x＞0．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及分類討論思想能求出a．
（3）研究函數(shù)圖象，f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．由此得到總存在正實數(shù)m，n，且1＜m＜e＜n，使得mⁿ=n^m．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$．
令f'（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$=0，則x=e．
列表如下：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	$\frac{1}{e}$	↘

∴f（x）在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)減，在（0，e）上單調(diào)增，
當(dāng)e≤x≤e²時，函數(shù)f（x）單調(diào)減，
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（e²）=2e^-2．…（4分）
（2）f（x） g（x）≤0恒成立，即2ln x-ax+a≤0在x＞0時恒成立．
令h（x）=f（x） g（x），則h′（x）=$\frac{2-ax}{x}$，x＞0．
若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
若a＞0，當(dāng)x∈（0，$\frac{2}{a}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{2}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．…（6分）
所以，若a≤0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f（1）=0，
故f（x）≤0不恒成立．…（8分）
若a＞2，則當(dāng)x∈（$\frac{2}{a}$，1）時，f（x）單調(diào)遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意，…（10分）
若0＜a＜2，則當(dāng)x∈（1，$\frac{2}{a}$）時，f（x）單調(diào)遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意，…（12分）
若a=2，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）≤f（1）=0符合題意．
故a=2．…（14分）
（3）正確，m的取值范圍是1＜m＜e．…（16分）
理由如下：
研究函數(shù)圖象，f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
又∵當(dāng)x→+∞時，f（x）→0．
∴總存在正實數(shù)m，n，且1＜m＜e＜n，使得f（m）=f（n），即$\frac{lnm}{m}$=$\frac{lnn}{n}$，即mⁿ=n^m．

點評 本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查滿足條件的正實數(shù)是否存在的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的、分類討論思想的合理運用．