Question

16．在△ABC中，邊AC長為$\sqrt{5}$，|${\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}}$|=2$\sqrt{5}$，D是BC邊上的點，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，則cos∠BAC=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 △ABC中，設E為邊AB的中點，由$|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=2\sqrt{5}$，可得CE=$\sqrt{5}$．D是BC邊上的點，且$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，可得AD⊥BC．設DC=x，則BD=2x．設AE=EB=y，由中線長定理可得：$（\sqrt{5}）^{2}$+（3x）²=2y²+2×$（\sqrt{5}）^{2}$，由勾股定理可得：4y²-4x²=$（\sqrt{5}）^{2}-{x}^{2}$，聯(lián)立解出，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：△ABC中，設E為邊AB的中點，∵$|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=2\sqrt{5}$，∴CE=$\sqrt{5}$．
D是BC邊上的點，且$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，∴AD⊥BC．
設DC=x，則BD=2x．設AE=EB=y，
由中線長定理可得：$（\sqrt{5}）^{2}$+（3x）²=2y²+2×$（\sqrt{5}）^{2}$，化為9x²-2y²=5．
由勾股定理可得：4y²-4x²=$（\sqrt{5}）^{2}-{x}^{2}$，化為：3x²+5=4y²．
聯(lián)立解得：x=1，y=$\sqrt{2}$．
AB=2$\sqrt{2}$，BC=3．
則cos∠BAC=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-{3}^{2}}{2×2\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選：D．

點評 本題考查了中線長公式和勾股定理、數(shù)量積運算性質、向量平行四邊形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．