分析 (Ⅰ)當(dāng)n=1時,求得首項;當(dāng)n≥2時,根據(jù)已知條件Sn=2n+1-2(n∈N*)推知${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-2-({2^n}-2)={2^n}$,易得數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求出bn,運用分組求和和錯位相減求和.
解答 解:(Ⅰ)由${S_n}={2^{n+1}}-2$,
當(dāng)n=1時,${a_1}={2^2}-2=2$,
當(dāng)n≥2,${S_{n-1}}={2^n}-2$,
則${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-2-({2^n}-2)={2^n}$,
當(dāng)n=1時,a1=2滿足上式,
所以${a_n}={2^n}$.
(Ⅱ) 由(Ⅰ),${b_n}=n{a_n}=n×{2^n}$.
則${T_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+…+n×{2^n}$,
所以$2{T_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+…+n×{2^{n+1}}$,
則$-{T_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}$=$\frac{{2(1-{2^n})}}{1-2}-n×{2^{n+1}}$=(1-n)2n+1-2.
所以${T_n}=(n-1){2^{n+1}}+2$.
點評 本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式,同時考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系式,以及數(shù)列的求和方法:錯位相減,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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