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20.已知△ABC的外接圓半徑為1,圓心為O,角A、B、C的對邊分別為a、b、c給出下面命題:
①若2OA+AB+AC=0,且|OA|=|AB|,則向量CACB方向上的投影為32;
②長度分別為sinA、sinB、sinC的三線段可構(gòu)成三角形,且面積是△ABC面積的一半;
③若a=3,則△ABC面積的最大值為334;
④若a=3,則銳角△ABC周長的取值范圍為(3+3,33]
其中真命題只有①③④.

分析 ①根據(jù)向量線性運算的幾何意義作圖,得出AC與∠ACB的大小,進(jìn)行計算投影;②根據(jù)正弦定理即可得出兩三角形相似,相似比為12,③利用余弦定理求出bc的范圍,代入三角形的面積公式求出面積的最大值;④利用正弦定理用B表示出b,c,得出周長關(guān)于B的函數(shù),根據(jù)B的范圍求出周長的范圍.

解答 解(1)作直徑AD,∵|OA|=|AB|=1,∴△ABO是等邊三角形,∠AOB=60°,
∵2OA+AB+AC=0,即AB+AC=2OA=AD,∴四邊形ABDC是矩形,∠ACB=12AOB=30°.
∴AC=3,向量CACB方向上的投影為|AC|cos30°=3×32=32.故①正確.
(2)由正弦定理可知asinA=sinB=csinC=2,∴sinA=a2,sinB=\frac{2},sinC=c2,
∴長度分別為sinA、sinB、sinC的三線段可構(gòu)成三角形,且新三角形與△ABC相似,相似比為12
∴新三角形的面積為△ABC面積的14.故②錯誤.
(3)若a=3,則sinA=32,∴A=60°或120°.
若A=60°,則由余弦定理得cosA=2+c232bc=12,∴b2+c2=bc+3≥2bc,解得bc≤3.
∴S△ABC=12bcsinA=34bc334
若A=120°,由余弦定理得cosA=2+c232bc=-12,∴b2+c2=3-bc≥2bc,解得bc≤1.
∴S△ABC=12bcsinA=34bc34
故③正確.
(4)若a=3,則sinA=32,∵A是銳角,∴A=60°.
∴b=2sinB,c=2sinC=2sin(120°-B)=3cosB+sinB.
∴a+b+c=3sinB+3cosB+3=23sin(B+30°)+3
\left\{\begin{array}{l}{0°<B<90°}\\{0°<120°-B<90°}\end{array}\right.,∴30°<B<90°,
∴60°<B+30°<120°,
∴3+\sqrt{3}<2\sqrt{3}sin(B+30°)+\sqrt{3}≤3\sqrt{3}
∴△ABC的周長取值范圍是(3+\sqrt{3},3\sqrt{3}],故④正確.
故答案為:①③④.

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義,正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)的恒等變換,屬于中檔題.

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