分析 ①根據(jù)向量線性運算的幾何意義作圖,得出AC與∠ACB的大小,進(jìn)行計算投影;②根據(jù)正弦定理即可得出兩三角形相似,相似比為12,③利用余弦定理求出bc的范圍,代入三角形的面積公式求出面積的最大值;④利用正弦定理用B表示出b,c,得出周長關(guān)于B的函數(shù),根據(jù)B的范圍求出周長的范圍.
解答 解(1)作直徑AD,∵|OA|=|AB|=1,∴△ABO是等邊三角形,∠AOB=60°,
∵2→OA+→AB+→AC=→0,即→AB+→AC=−2→OA=→AD,∴四邊形ABDC是矩形,∠ACB=12∠AOB=30°.
∴AC=√3,向量→CA在→CB方向上的投影為|AC|cos30°=√3×√32=32.故①正確.
(2)由正弦定理可知asinA=sinB=csinC=2,∴sinA=a2,sinB=\frac{2},sinC=c2,
∴長度分別為sinA、sinB、sinC的三線段可構(gòu)成三角形,且新三角形與△ABC相似,相似比為12.
∴新三角形的面積為△ABC面積的14.故②錯誤.
(3)若a=√3,則sinA=√32,∴A=60°或120°.
若A=60°,則由余弦定理得cosA=2+c2−32bc=12,∴b2+c2=bc+3≥2bc,解得bc≤3.
∴S△ABC=12bcsinA=√34bc≤3√34.
若A=120°,由余弦定理得cosA=2+c2−32bc=-12,∴b2+c2=3-bc≥2bc,解得bc≤1.
∴S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√34.
故③正確.
(4)若a=√3,則sinA=√32,∵A是銳角,∴A=60°.
∴b=2sinB,c=2sinC=2sin(120°-B)=√3cosB+sinB.
∴a+b+c=3sinB+√3cosB+√3=2√3sin(B+30°)+√3.
∵\left\{\begin{array}{l}{0°<B<90°}\\{0°<120°-B<90°}\end{array}\right.,∴30°<B<90°,
∴60°<B+30°<120°,
∴3+\sqrt{3}<2\sqrt{3}sin(B+30°)+\sqrt{3}≤3\sqrt{3}.
∴△ABC的周長取值范圍是(3+\sqrt{3},3\sqrt{3}],故④正確.
故答案為:①③④.
點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義,正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)的恒等變換,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | a>1 | B. | a≤-1 | C. | a<1 | D. | a≥1 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ∅ | B. | (\frac{π}{4},\sqrt{2}) | C. | (1,\frac{3π}{4}) | D. | [1,\sqrt{2}] |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{12}{5} | B. | -\frac{12}{5} | C. | \frac{5}{12} | D. | -\frac{5}{12} |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{5π}{12} | B. | \frac{π}{12} | C. | \frac{7π}{12} | D. | π |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015-2016學(xué)年江蘇泰興中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知為正實數(shù),且
,則
的最小值為___.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com