【題目】已知個實數(shù)若有窮數(shù)列由數(shù)列的項重新排列而成,且下列條件同時成立:① 個數(shù)兩兩不同;②當時,都成立,則稱的一個友數(shù)列.

(1)若寫出的全部“友數(shù)列;

(2)已知是通項公式為的數(shù)列的一個“友數(shù)列,且(用表示);

(3)設(shè)求所有使得通項公式為的數(shù)列不能成為任何數(shù)列的“友數(shù)列”的正實數(shù)的個數(shù)(用表示).

【答案】1)見解析(2)見解析(3)見解析

【解析】

1)對分類討論即可得到結(jié)果;

2由條件①知:3n個數(shù)兩兩不同,又

,∴差值最大為3n,分類討論即可得到結(jié)果;

(3)根據(jù)“友數(shù)列”的定義,分析即可得到結(jié)果.

解:(1)若 中存在兩個1,不妨設(shè),

則有 與②矛盾,

故有,

即好數(shù)列 ;

2由條件①知:3n個數(shù)兩兩不同,又 ,

∴差值最大為3n,

而令k1時,由,

,

,則,

時,

故只可能為某個 使,

,矛盾,

∴必有則有,即 ,

其次,若

則此時差值中外最大,

則有,,又,

,而

矛盾,

∴必有

同理,若則有使

,且

,矛盾,

∴必有,

接著考慮: ,

則有,使得,

,矛盾,

依次類推即可.

故對于 時,

,

,

,

聯(lián)立,得,

,

對于 時,

,

,

聯(lián)立,得

,

3

為一個數(shù)列的“友數(shù)列”,

亦為一個數(shù)列的友數(shù)列,

故不妨設(shè) ,則所有差排列如下:

時,易知與條件①②矛盾;

時,

,

,

觀察上面式子,若不存在,則先比較:

,

在比較大小,

綜上,不存在滿足題意的q.

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