Question

6．已知數列 {a_n} 的前n項和是S_n且2S_n=2-a_n．
（Ⅰ）求數列{a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=n•a_n，求數列{b_n} 的前n項的和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數列中a_n與 S_n關系：當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1解決．得出3a_n=a_n-1，判定數列{a_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數列．通項公式易求．
（Ⅱ）直接利用上面的結論求出數列{b_n}的通項公式，再利用錯位相減法即可求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，2S₁=2-a₁．2a₁=2-a₁，
∴a₁=$\frac{2}{3}$．
當n≥2時，2S_n=2-a_n．2S_n-1=2-a_n-1．兩式相減得2a_n=a_n-1-a_n，
∴3a_n=a_n-1，∴數列{a_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數列．       
∴a_n=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{3}$）^n-1=2（$\frac{1}{3}$）ⁿ
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
則T_n=2×$\frac{1}{3}$+2×2×（$\frac{1}{3}$）²+2×3×（$\frac{1}{3}$）³+…+2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=2×（$\frac{1}{3}$）²+2×2×（$\frac{1}{3}$）³+…+2（n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
$\frac{2}{3}$T_n=2×$\frac{1}{3}$+2[（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]-2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=2×$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$-2n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ-2n•（$\frac{1}{3}$）．
∴T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{2}$-（$\frac{1}{3}$）ⁿ．

點評 本題主要考查數列求和的錯位相減，錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．此方法是數列求和部分高考考查的重點及熱點．