Question

12．有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門(mén)不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：
（1）有女生但人數(shù)必須少于男生；
（2）男生甲必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；
（3）女生乙一定要擔(dān)任語(yǔ)文課代表，男生丙只想擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表或物理課代表．

Answer 1

分析 （1）分2步進(jìn)行分析：①、在8個(gè)人中選出5人，有3男2女和4男1女2種情況，②、將取出的5人全排列，有A₅⁵種情況，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）分2步進(jìn)行分析：①、在除數(shù)學(xué)課代表之外的4門(mén)不同學(xué)科的課代表選出1門(mén)，由甲擔(dān)任，②、在除男生甲之外的7人中任選4人，將4人全排列，對(duì)應(yīng)其他4門(mén)不同學(xué)科的課代表，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，對(duì)于男生丙分2種情況討論：①、男生丙也在選出的5人中，②、男生丙不在選出的5人中，分別求出每一種情況的選法數(shù)目，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、在8個(gè)人中選出5人，有3男2女和4男1女2種情況，
則有（C₅³C₃²+C₅⁴C₃¹）種取法，
②、將取出的5人全排列，有A₅⁵種情況，
則共有（C₅³C₃²+C₅⁴C₃¹）A₅⁵=5400種選法；
（2）分2步進(jìn)行分析：
①、由于男生甲不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，在除數(shù)學(xué)課代表之外的4門(mén)不同學(xué)科的課代表選出1門(mén)，由甲擔(dān)任，則男生甲有C₄¹種選擇情況，
②、在除男生甲之外的7人中任選4人，有C₇⁴種情況，將4人全排列，對(duì)應(yīng)其他4門(mén)不同學(xué)科的課代表，有C₇⁴•A₄⁴種情況，
則C₇⁴C₄¹A₄⁴=3360種符合條件的選法；
（3）根據(jù)題意，女生乙一定在選出的5人中，對(duì)于男生丙分2種情況討論：
①、男生丙也在選出的5人中，則男生丙擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表或物理課代表，男生丙有C₂¹種情況，
在其余6人中任選3人，擔(dān)任剩下3門(mén)不同學(xué)科的課代表，有A₆³種情況，
此時(shí)有C₂¹•A₆³種選法，
②、男生丙不在選出的5人中，
則在其余6人中任選4人，擔(dān)任剩下4門(mén)不同學(xué)科的課代表，有A₆⁴種情況，
此時(shí)有A₄⁴種選法，
則一共有$C_2^1A_6^3+A_6^4=600$種符合條件的選法．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，在計(jì)算時(shí)要求做到，兼顧所有的條件，先排約束條件多的元素，做的不重不漏，注意實(shí)際問(wèn)題本身的限制條件．