Question

【題目】等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足：，，當(dāng)時，，且，，成等比數(shù)列，.

（1）求數(shù)列，的通項公式；

（2）求證：數(shù)列中的項都在數(shù)列中；

（3）將數(shù)列、的項按照：當(dāng)為奇數(shù)時，放在前面：當(dāng)為偶數(shù)時，放在前面進行“交叉排列”，得到一個新的數(shù)列：，，，，，，…這個新數(shù)列的前和為，試求的表達式.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式，即可由基本量計算求得首項與公差，進而求得數(shù)列的通項公式與前n項和；根據(jù)等比中項定義，結(jié)合數(shù)列的前n項和，代入化簡可求得數(shù)列的通項公式；

（2）根據(jù)數(shù)列，的通項公式，即可證明數(shù)列中的項都在數(shù)列中；

（3）由數(shù)列的通項公式，代入由裂項求和法可得的前n項和，再對分類討論，即可確定新數(shù)列的前和的表達式.

（1）為等差數(shù)列，設(shè)公差為，

，，

所以，解得，

所以由等差數(shù)列通項公式可得；

等差數(shù)列的前項和為，

所以，

當(dāng)時，，且，，成等比數(shù)列，.

所以，

則，即，

化簡可得，當(dāng)時也成立，

所以.

（2）證明：由（1）可知，，

則，

所以數(shù)列中的項都在數(shù)列中；

（3）由（1）可知，

則，

所以數(shù)列的前n項和為，

當(dāng)時，，

當(dāng)（）時，，經(jīng)檢驗當(dāng)時也成立，

當(dāng)時，，

綜上所述，當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.