Question

7．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cos）²+2$\sqrt{3}$sin²x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期并求出單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2acosC+c=2b，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1+$\sqrt{3}$，由此求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）在△ABC中，由條件利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，可得B的范圍，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（B）的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（sinx+cos）²+2$\sqrt{3}$sin²x=1+sin2x+2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1+$\sqrt{3}$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1+$\sqrt{3}$的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）在△ABC中，2acosC+c=2b，∴2a•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$+c=2b，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∴0＜B＜$\frac{2π}{3}$，-$\frac{π}{3}$＜2B-$\frac{π}{3}$＜π，∴sin（2B-$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
可得f（B）∈（1，$3+\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，余弦定理、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．