Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+2x-3，g（x）=$\frac{klnx}{x}$，且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x=1處的切線相同．
（1）求k的值；
（2）令F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|（x≤1）}\\{g（x）（x＞1）}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=F（x）-m存在3個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+2，求出切線方程，利用函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x=1處的切線相同，列出關(guān)系式求解即可．
（2）化簡F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|（x≤1）}\\{g（x）（x＞1）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+2x-3|，x≤1}\\{\frac{4lnx}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，通過當x＞1時，函數(shù)的圖形的變化情況，求出函數(shù)的極值，畫出函數(shù)的圖象，然后求解m的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）已知函數(shù)f（x）=x²+2x-3，
函數(shù)f′（x）=2x+2，則f′（1）=4，又f（1）=0，所以f（x）在x=1處的切線方程為y=4x-4，
又因為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x=1處的切線相同，g′（x）=$\frac{k（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
所以g′（1）=k=4．（4分）
（2）令F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|（x≤1）}\\{g（x）（x＞1）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+2x-3|，x≤1}\\{\frac{4lnx}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，
當x＞1時，F(xiàn)（x）=$\frac{4lnx}{x}$，F(xiàn)′（x）=$\frac{4-4lnx}{{x}^{2}}$，可得函數(shù)F（x）在x=e處的極大值為：$\frac{4}{e}$，
當x→+∞時，圖象趨近于x軸．
函數(shù)F（x）的大致圖象如圖所示，
可知函數(shù)y=F（x）-m存在3個零點時，
m的取值范圍是（$\frac{4}{e}$，4）．（12分）

點評 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運算，用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等，以及函數(shù)圖象的判定，考查學生解決問題的綜合能力．