分析 (I)求出圓心C到直線l1的距離,利用勾股定理建立方程,求出圓心坐標(biāo),即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)依題意可設(shè)直線l2的方程為x-y+m=0(m≠-1),而由點(diǎn)到直線的距離公式得:${d_2}=\frac{{|{-3+m}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{({-1})}^2}}}}=\frac{{|{m-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$,即可求直線l2的方程;
(Ⅲ)由∠CFD=∠CFE知:kFD+kFE=0即有$\frac{y_1}{{{x_2}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=0$,利用韋達(dá)定理,即可求直線l2的方程.
解答 解:(I)可知圓C的圓心坐標(biāo)為(-a,0),半徑為r=a
圓心C到直線l1的距離為${d_1}=\frac{{|{-a-1}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{({-1})}^2}}}}=\frac{{|{a+1}|}}{{\sqrt{2}}}$
由垂徑定理知:${r^2}-{d_1}^2={({\frac{1}{2}|{AB}|})^2}$
即有:${a^2}-\frac{{{{({a+1})}^2}}}{2}=1$(a>0)解得:a=3
故所求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+y2=9
(II)易知:若△CDE為直角三角形,則∠DCE=90°
又CD=CE=r=3可知△CDE為等腰直角三角形
由垂徑定理:圓心C到直線l2的距離${d_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
依題意可設(shè)直線l2的方程為x-y+m=0(m≠-1)
而由點(diǎn)到直線的距離公式得:${d_2}=\frac{{|{-3+m}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{({-1})}^2}}}}=\frac{{|{m-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
解得:m=0或m=6故所求直線l2的方程為x-y=0或x-y+6=0
(III)可知直線l1與x軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),依題意可設(shè)直線l2的方程為y=x+t
將其與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x+3)2+y2=9聯(lián)立整理可得:2x2+(2t+6)x+t2=0
設(shè)D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)由韋達(dá)定理可得:${x_1}+{x_2}=-\frac{2t+6}{2}=-t-3$,${x_1}•{x_2}=\frac{t^2}{2}$
由∠CFD=∠CFE知:kFD+kFE=0即有$\frac{y_1}{{{x_2}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=0$,
得(x2-1)y1+(x1-1)y2=(x2-1)(x1+t)+(x1-1)(x2+t)=2x1x2+(t-1)(x1+x2)-2t
于是有$2•\frac{t^2}{2}+({t-1})({-t-3})-2t=0$得$t=\frac{3}{4}$
故所求直線l2的方程為$y=x+\frac{3}{4}$,即4x-4y+3=0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,難度大.
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A. | c<a<b | B. | b<c<a | C. | a<c<b | D. | c<b<a |
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | $2\sqrt{2}$ | C. | $3\sqrt{2}$ | D. | $4\sqrt{2}$ |
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