Question

13．已知橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），短軸端點到其右焦點F（2，0）的距離為$\sqrt{5}$，O為坐標原點．
（1）求橢圓W的方程；
（2）設A，B，C是橢圓W上的三個點，判斷四邊形OABC能否為矩形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，由此能求出橢圓W的方程．
（2）設直線AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），AC的中點M（x₀，y₀），B（x₃，y₃），直線代入拋物線方程可得（1+5k²）x²+10kmx+5m²-5=0，由此利用根的判別式、韋達定理、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能推導出四邊形OABC可以為矩形．

解答 解：（1）∵橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），短軸端點到其右焦點F（2，0）的距離為$\sqrt{5}$，
∴由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓W的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
（2）設直線AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），AC的中點M（x₀，y₀），B（x₃，y₃），
直線代入拋物線方程可得（1+5k²）x²+10kmx+5m²-5=0，
∴△=（10km）²-4（1+5k²）（5m²-5）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{10km}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{5{m}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．①由條件OA⊥OC，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
整理得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
將（1）式代入得6m²=5k²+5，②
又x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{5km}{1+5{k}^{2}}$，y₀=kx₀+m=$\frac{m}{1+5{k}^{2}}$，
且M同時也是OB的中點，∴x₃=2x₀，y₃=2y₀，
∵B在橢圓上，∴${{x}_{3}}^{2}+5{{y}_{3}}^{2}$=5，
即$4{{x}_{0}}^{2}+20{{y}_{0}}^{2}=5$，代入整理可得4m²=5k²+1，③
由②③解得m²=2，k²=$\frac{7}{5}$，
驗證知△=120＞0，
∴四邊形OABC可以為矩形．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形能否為矩形的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、橢圓性質(zhì)的合理運用．