5.如圖,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,∠D=90°,且AB∥CD,AB=AD,∠BCD=45°.
(1)點(diǎn)F在線段PC上何位置時(shí),BF∥平面PAD?并證明你的結(jié)論.
(2)當(dāng)直線PB與平面ABCD所成的角為45°時(shí),求二面角B-PC-D的大。

分析 (1)取PD的中點(diǎn)M,連接FM,AM.推導(dǎo)出四邊形ABFM為平行四邊形,從而B(niǎo)F∥AM,由此求出當(dāng)F為線段PC中點(diǎn)時(shí),BF∥平面PAD.
(2)以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B-PC-D的大。

解答 解:(1)當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí),BF∥平面PAD.(2分)
證明如下:
取PD的中點(diǎn)M,連接FM,AM.
由AB=AD,∠BCD=45°,得AB=$\frac{1}{2}$CD=FM.
又FM∥CD∥AB,
所以四邊形ABFM為平行四邊形,所以BF∥AM.(4分)
又AM?平面PAD,BF?平面PAD,
所以BF∥平面PAD.(6分)
(2)由題意知AB,AD,AP兩兩垂直,
則以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
由題意∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角,則∠PBA=45°,所以PA=AB.
設(shè)PA=AB=AD=1,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(2,1,0),P(0,0,1),
$\overrightarrow{PB}$=(1,0,-1),$\overrightarrow{PC}$=(2,1,-1),$\overrightarrow{PD}$=(0,1,-1).(8分)
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則$\overrightarrow{PB}$?$\overrightarrow{n}$=0,$\overrightarrow{PC}$?$\overrightarrow{n}$=0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{2x+y-z=0}\end{array}\right.$,令z=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,1).(10分)
同理可以求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,1,1),
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=0,
∴平面PBC⊥平面PCD,即二面角B-PC-D為90°.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定與求法,考查二面角的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

4.若f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=x-1,則f(x)<0的解集是( 。
A.(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-1,1)D.(0,1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

16.已知一個(gè)圓柱的底面半徑為1,高為2,點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心,在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M,則點(diǎn)M到點(diǎn)O的距離小于1的概率為$\frac{1}{3}$.(參考公式:V=$\frac{4}{3}$πR3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.第26屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2011年8月12日到23日在深圳舉行,為工作需要,組委會(huì)擬定組建一個(gè)“五人接待小組”,先在各中學(xué)進(jìn)行海選,招募了12名男生和18名女生志愿者,將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖(單位:cm).若身高
在175cm以上(含175cm)定義為“高個(gè)子”,身高在175cm以下(不含175cm)定義為“非高個(gè)子”.
(1)從這30名志愿者選出5人,且5人中有“女高個(gè)子”,則有多少種不同的選法?
(2)若用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中共提取5人,再?gòu)倪@5人中選2人,那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.已知點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠0)是拋物線x2=2y上的一動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)為焦點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1).
(Ⅰ)求證:以MP為直徑的圓截直線$y=\frac{1}{2}$所得的弦長(zhǎng)為定值;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)P作該拋物線的切線l交x軸于點(diǎn)B.問(wèn):直線PB是否為∠APF的平分線?請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.解不等式:
(1)|1-$\frac{2x-1}{3}$|≤2
(2)(2-x)(x+3)<2-x.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.已知x0(x0>1)是函數(shù)f(x)=lnx-$\frac{1}{x-1}$的一個(gè)零點(diǎn),若a∈(1,x0),b∈(x0,+∞),則( 。
A.f(a)<0,f(b)<0B.f(a)>0,f(b)>0C.f(a)<0,f(b)>0D.f(a)>0,f(b)<0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

14.已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$2\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4})$,直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),并與y軸交于點(diǎn)P.
(Ⅰ)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

15.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)=2,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)<$\frac{2}{3}$,則f(x)<$\frac{2x}{3}$+$\frac{4}{3}$的解集為( 。
A.(1,+∞)B.(-1,∞)∪(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,1)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案