Question

18．已知△ABC的面積為S，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}=S$．
（1）求tanA的值；
（2）若B=$\frac{π}{4}，c=6$，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）設出三角形的邊長，利用三角形的面積以及向量的數(shù)量積，轉化求解A的正切函數(shù)值．
（2）利用兩角和與差的三角函數(shù)轉化求解三角形的面積即可．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}=S$，設三角形的邊長為：a，b，c，則：bccosA═$\frac{1}{2}$bcsinA，
可得tanA=2．
（2）由（1）可知A∈（0，$\frac{π}{2}$），則sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，B=$\frac{π}{4}，c=6$，
可得cosC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB═$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，…（10分）
b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{6×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}}$=2$\sqrt{5}$．
故S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×6×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=12．…（12分）

點評 本題考查向量的數(shù)量積以及正弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉化思想以及計算能力．