Question

19．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（x）-f′（x）＜1，f（0）=2016，則不等式f（x）＞2015e^x+1的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）∪（0，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （2015，+∞）
• D． （-∞，0）∪（2015，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^-xf（x）-e^-x，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，從而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2015•e^x+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=e^-xf（x）-e^-x，
則g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）+e^-x=-e^-x[f（x）-f′（x）-1]，
∵f（x）-f′（x）＜1，∴f（x）-f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵f（x）＞2015•e^x+1，∴g（x）＞2015，
∵g（0）=e^-0f（0）-e^-0=f（0）-1=2016-1=2015，
∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，
∴f（x）＞2015•e^x+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（0，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．