Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{m（x+n）}{x+1}$（m＞0）．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線互相垂直，求n的值；
（2）若對(duì)任意x＞0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求實(shí)數(shù)n的值及實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）令f′（1）•g′（1）=-1列方程解出n；
（2）根據(jù)|g（1）|≤|f（1）|=0得出g（1）=0解出n，判斷f（x）和g（x）的符號(hào)，去掉絕對(duì)值，使用分離參數(shù)法得出m≤$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，利用導(dǎo)數(shù)求出右側(cè)函數(shù)的最小值即可得出m的最大值．

解答 解：（1）m=1時(shí)，g（x）=$\frac{x+n}{x+1}$．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{x+1-（x+n）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1-n}{（x+1）^{2}}$．
∵函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線互相垂直，
∴f′（1）•g′（1）=-1．
即1•$\frac{1-n}{4}$=-1，解得n=5．
（2）∵f（1）=0，|f（x）|≥|g（x）|恒成立，
∴|g（1）|=0，即$\frac{m（1+n）}{2}$=0，
∵m＞0，∴n=-1．
∴g（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$．
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0．
又當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
∵x＞0時(shí)，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，-lnx≥-$\frac{m（x-1）}{x+1}$，即lnx-$\frac{m（x-1）}{x+1}$≤0．
∴m≤$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，lnx≥$\frac{m（x-1）}{x+1}$，∴m≤$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$．
綜上：m≤$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$（x＞0且x≠1）．
設(shè)h（x）=$\frac{（x+1）lnx}{x-1}$，則h′（x）=$\frac{（x-1）（lnx+\frac{1}{x}+1）-（x+1）lnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-\frac{1}{x}-2lnx}{（x-1）^{2}}$．
令m（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx（x＞0且x≠1），則m′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，m（x）＞m（1）=0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，m（x）＜m（1）=0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵$\underset{lim}{x→1}h（x）$=$\underset{lim}{x→1}（lnx+\frac{1}{x}+1）$=2，
∴h（x）＞2．
∴m≤2．即m的最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最值的關(guān)系，屬于中檔題．