Question

14．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$兩漸近線的夾角θ滿足$sinθ=\frac{4}{5}$，焦點(diǎn)到漸近線的距離d=1，則該雙曲線的焦距為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
• D． 以上都不是

Answer 1

分析 運(yùn)用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$兩漸近線的夾角θ滿足$sinθ=\frac{4}{5}$，得到$\frac{a}$=2或$\frac{1}{2}$，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得b，再由a，b，c的關(guān)系即可得到c，進(jìn)而得到焦距．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$兩漸近線的夾角θ滿足$sinθ=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{a}$=2或$\frac{1}{2}$，
設(shè)焦點(diǎn)為（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
則d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=1，
又b²=c²-a²=1，
解得c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\sqrt{5}$．
則有焦距為$\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查焦距和漸近線方程的運(yùn)用，屬于中檔題．