5.三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O,PA=PB=PC=3,當(dāng)三棱錐P-ABC的三個側(cè)面積和最大時,球O的體積為$\frac{{27\sqrt{3}π}}{2}$.

分析 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直,三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大,它的外接球就是它擴(kuò)展為長方體的外接球,求出長方體的對角線的長,就是球的直徑,然后求球的體積.

解答 解:由題意三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直,
三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大,
三棱錐P-ABC的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球,求出正方體的對角線的長:3$\sqrt{3}$
所以球的直徑是3$\sqrt{3}$,半徑為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
球的體積為$\frac{{27\sqrt{3}π}}{2}$.
故答案為$\frac{{27\sqrt{3}π}}{2}$.

點(diǎn)評 本題考查球的體積,幾何體的外接球,考查空間想象能力,計算能力,是基礎(chǔ)題.

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