Question

1．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上任意一點(diǎn)P，作與y軸平行的直線，交兩漸近線于A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-\frac{a^2}{4}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線上的P（m，n），代入雙曲線的方程，由x=m與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積運(yùn)算和離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)雙曲線上的P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1．①
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得y=$\frac{bm}{a}$，
取A（m，$\frac{bm}{a}$），
同理可得B（m，-$\frac{bm}{a}$）．
$\overrightarrow{PA}$=（0，$\frac{bm}{a}$-n），$\overrightarrow{PB}$=（0，-$\frac{bm}{a}$-n），
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=-\frac{a^2}{4}$，
可得（$\frac{bm}{a}$-n）（-$\frac{bm}{a}$-n）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
化為n²-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$m²=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，②
由①②可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、數(shù)量積運(yùn)算和離心率計(jì)算公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題