Question

13．在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一個橢圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，它的一個焦點(diǎn)為點(diǎn)C，另一個焦點(diǎn)在邊AB上，則這個橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\sqrt{6}-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)另一焦點(diǎn)為D，則可再Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求得BC，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義知AC+AB+BC=4a求得a．再利用AC+AD=2a求得AD最后在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理求得CD，得到橢圓半焦距，進(jìn)一步求得離心率．

解答 解：設(shè)另一焦點(diǎn)為D，
∵Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∵AC+AD=2a，
∴AC+AB+BC=1+1+$\sqrt{2}$=4a，
∴a=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
又∵AC=1，∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△ACD中焦距CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則c=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}}{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)和解三角形的應(yīng)用．要理解好橢圓的定義和橢圓中短軸，長軸和焦距的關(guān)系是關(guān)鍵，是中檔題．