分析 (1)f′(x)=$\frac{1}{{x}^{2}}$,g′(x)=$\frac{ax+1-ax}{(ax+1)^{2}}$=$\frac{1}{(ax+1)^{2}}$.由函數(shù)f(x),g(x)的圖象在x${\;}_{0}=\frac{1}{2}$處的切線斜率相同,可得$\frac{1}{(\frac{1}{2})^{2}}$=$\frac{1}{(\frac{1}{2}a+1)^{2}}$,解得a即可得出.
(2)由f(ex)≤g(x)在x∈[0,+∞) 恒成立,即$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$,$1-\frac{1}{{e}^{x}}$∈[0,1),$\frac{x}{ax+1}$≥0在x∈[0,+∞) 恒成立,可得a≥0.于是不等式$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立等價(jià)于(ax+1)(ex-1)-exx≤0在[0,+∞)上恒成立.令:h(x)=(ax+1)(ex-1)-exx=ex(ax-x+1)-(ax+1),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,對(duì)a分類(lèi)討論即可得出.
解答 解:(1)f′(x)=$\frac{1}{{x}^{2}}$,g′(x)=$\frac{ax+1-ax}{(ax+1)^{2}}$=$\frac{1}{(ax+1)^{2}}$.
∵函數(shù)f(x),g(x)的圖象在x${\;}_{0}=\frac{1}{2}$處的切線斜率相同,
∴$\frac{1}{(\frac{1}{2})^{2}}$=$\frac{1}{(\frac{1}{2}a+1)^{2}}$,解得a=-3或-1.都符合題意.
∴求得實(shí)數(shù)a的值為-3或-1.
(2)∵f(ex)≤g(x)在x∈[0,+∞) 恒成立,
∴$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$,$1-\frac{1}{{e}^{x}}$∈[0,1),
∴$\frac{x}{ax+1}$≥0在x∈[0,+∞) 恒成立,
∴a≥0.
不等式$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立等價(jià)于(ax+1)(ex-1)-exx≤0在[0,+∞)上恒成立.
令:h(x)=(ax+1)(ex-1)-exx=ex(ax-x+1)-(ax+1),
h′(x)=ex(ax-x+a)-a,
h″(x)=ex(ax-x+2a-1)=(a-1)ex$(x+\frac{2a-1}{a-1})$.
h″(0)=2a-1,h′(0)=0,h(0)=0.
①當(dāng)a≥1時(shí),∴在x∈[0,+∞),h″(x)>0,∴h′(x)在(0,+∞) 是增函數(shù),
∴h′(x)>h′(0)=0,h(x)在(0,+∞) 是增函數(shù),
∴與h(x)=(ax+1)(ex-1)-exx≤0矛盾,舍去.
②當(dāng)$\frac{1}{2}<a<1$時(shí),∴(a-1)<0,$\frac{2a-1}{a-1}$<0,∴h″(x)=(a-1)ex$(x+\frac{2a-1}{a-1})$.在$(0,-\frac{2a-1}{a-1})$ 時(shí),
h″(x)>0,∴與(1)同理,不合題意,舍去.
③當(dāng)$0≤a≤\frac{1}{2}$時(shí),∴(a-1)<0,$\frac{2a-1}{a-1}$≥0,故h′(x)在x∈(0,+∞)上是減函數(shù),
∴h′(x)<h′(0)=0,函數(shù)h(x)是(0,+∞)上的減函數(shù),h(x)<h(0)=0符合題意.
綜合得:實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[0,\frac{1}{2}]$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、幾何意義,考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 2.5 |
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A. | m>9 | B. | m≥9 | C. | m≥7 | D. | m>7 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | $\sqrt{2}$ | B. | 2 | C. | 1+$\sqrt{2}$ | D. | 2+$\sqrt{2}$ |
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A. | $\sqrt{2}-1$ | B. | $3-2\sqrt{2}$ | C. | $3+2\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{2}+1$ |
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