5.已知$\overrightarrow{a}$=(2cosx,-$\sqrt{3}$sin2x),$\overrightarrow$=(cosx,1),令函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$,
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間.
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,f(A)=-1,a=$\sqrt{7}$,$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3,求邊b和c的值(b>c).

分析 (1)由題意結(jié)合數(shù)量積和三角函數(shù)的運算可得可得f(x)解析式,利用周期公式可求周期,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可求單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)由(1)結(jié)合已知及余弦函數(shù)的圖象可得A值,利用平面向量數(shù)量積的運算可求bc=6,進而利用余弦定理可求b+c=5,聯(lián)立即可解得b,c的值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)∵f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=1+cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=1+2cos(2x+$\frac{π}{3}$),---------(3分)
∴f(x)的最小正周期T=π,
∵y=cosx在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上單調(diào)遞減,
∴2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{π}{3}$],k∈Z,-------------(6分)
(2)f(A)=1+2cos(2A+$\frac{π}{3}$)=-1,
∴cos(2A+$\frac{π}{3}$)=-1,
又∵0<A<π,
∴$\frac{π}{3}$<2A+$\frac{π}{3}$<$\frac{7π}{3}$,∴2A+$\frac{π}{3}$=π,∴A=$\frac{π}{3}$,---------(9分)
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3,即bc=6,由a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,
即7=(b+c)2-18,b+c=5,
又∵b>c,
∴b=3,c=2.--------(12分)

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),三角函數(shù)周期公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬中檔題.

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