19.設函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x}$+ax+b,a,b∈R.
(1)若函數(shù)y=f(x)-2是奇函數(shù),且在(0,+∞)上的最小值為4,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當a=1時,函數(shù)g(x)=2f(x)-x在[$\frac{1}{2}$,2]上有兩個不同的零點,求實數(shù)b的最小值;
(3)設F(x)=|f(x)|,對任意的實數(shù)b,都存在實數(shù)x0∈[$\frac{1}{2}$,2],使得F(x)$≥\frac{1}{2}$恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)利用函數(shù)y=f(x)-2為奇函數(shù)得到b,討論a,利用其單調性和基本不等式得到求出a值,進而得到f(x);
(2)把a=1代入f(x)=$\frac{1}{x}$+ax+b,由題意可得-2b=$\frac{2}{x}$+x,令h(x)=$\frac{2}{x}$+x,求出單調區(qū)間和端點的函數(shù)值,即可得到b的范圍和最小值;
(3)由f(x)=$\frac{1}{x}$+ax+b,得f′(x)=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a=$\frac{a{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$,判斷函數(shù)f(x)的單調性,由題意,討論得到a的范圍.

解答 解:(1)由題意得,函數(shù)y=f(x)-2=$\frac{1}{x}$+ax+b-2,
令y=g(x)=f(x)-2為奇函數(shù),∴g(-x)=-g(x),
即-$\frac{1}{x}$-ax+b-2=-($\frac{1}{x}$+ax+b-2),解得b=2,
由y=$\frac{1}{x}$+ax在(0,+∞)上的最小值為4,
當a≤0時,函數(shù)遞減無最小值;
當a>0時,y=$\frac{1}{x}$+ax≥2$\sqrt{ax•\frac{1}{x}}$,
即有ax=$\frac{1}{x}$時取得最小值2$\sqrt{a}$=4,
解得a=4,則f(x)=$\frac{1}{x}$+4x+2;
(2)把a=1代入得f(x)=$\frac{1}{x}$+x+b,
則g(x)=$\frac{2}{x}$+x+2b在[$\frac{1}{2}$,2]上有兩個不同的零點,
即有-2b=$\frac{2}{x}$+x,令h(x)=$\frac{2}{x}$+x,則h(x)在[$\frac{1}{2}$,$\sqrt{2}$)遞減,在($\sqrt{2}$,2]遞增,
可得h($\sqrt{2}$)=2$\sqrt{2}$,h($\frac{1}{2}$)=$\frac{9}{2}$,h(2)=3,
由g(x)=$\frac{2}{x}$+x+2b在[$\frac{1}{2}$,2]上有兩個不同的零點,
可得2$\sqrt{2}$<-2b≤$\frac{9}{2}$,
解得-$\frac{9}{4}$≤b<-$\sqrt{2}$,
即b的最小值為-$\frac{9}{4}$;
(3)由f(x)=$\frac{1}{x}$+ax+b,得f′(x)=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a=$\frac{a{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$,
由f′(x)≤0,得a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$,所以a≤$\frac{1}{4}$,此時f(x)在區(qū)間[$\frac{1}{2}$,2]上為減函數(shù),
要使對任意的實數(shù)b,都存在實數(shù)x0∈[$\frac{1}{2}$,2],使得不等式|f(x0)|≥$\frac{1}{2}$成立,
只要f(x0)≥$\frac{1}{2}$或者f(x0)≤-$\frac{1}{2}$所以只要f(x)的最大值為f($\frac{1}{2}$)=2+$\frac{1}{2}$a+b≥$\frac{1}{2}$
或者f(2)=$\frac{1}{2}$+2a+b≤-$\frac{1}{2}$.
解得a≤$\frac{1}{3}$,又a≤$\frac{1}{4}$,
所以a≤$\frac{1}{4}$;
由f′(x)≥0,由x∈[$\frac{1}{2}$,2],得a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$,得到a≥4,此時f(x)在區(qū)間[$\frac{1}{2}$,2]上為增函數(shù),
要使對任意的實數(shù)b,都存在實數(shù)x0∈[$\frac{1}{2}$,2],使得不等式|f(x0)|≥$\frac{1}{2}$成立,
只要f(x0)≥$\frac{1}{2}$或者f(x0)≤-$\frac{1}{2}$所以只要f(x)的最大值為f(2)=$\frac{1}{2}$+2a+b≥$\frac{1}{2}$
或者f($\frac{1}{2}$)=2+$\frac{1}{2}$a+b≤-$\frac{1}{2}$.
解得a≥$\frac{5}{3}$,又a≥4,
所以a≥4;
綜上a≥4或a≤$\frac{1}{4}$.

點評 本題考查函數(shù)的單調性,最值與導數(shù)的關系,和存在性問題的轉化,屬于壓軸題,難題.

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