Question

2．已知關(guān)于x的不等式ax²+（1-a）x-1＞0
（1）當(dāng)a=2時，求不等式的解集．
（2）當(dāng)a＞-1時．求不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時，不等式即即（x-1）（2x+1）＞0，由此求得x的范圍．
（2）不等式即（x-1）（ax+1）＞0，其對應(yīng)方程的根為-$\frac{1}{a}$與1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得它的解集．

解答 解�。�1）原不等式即（x-1）（ax+1）＞0，當(dāng)a=2時，即（x-1）（2x+1）＞0，
求得x＜-$\frac{1}{2}$，或x＞1，故不等式的解集為{x|x＜-$\frac{1}{2}$，或x＞1}．
（2）二次項系數(shù)含有參數(shù)，因此對a在0點處分開討論．
若a≠0，則原不等式ax²+（1-a）x-1＞0等價于（x-1）（ax+1）＞0．
其對應(yīng)方程的根為-$\frac{1}{a}$與1．
又因為a＞-1，則①當(dāng)a=0時，原不等式為x-1＞0，
所以原不等式的解集為{x|x＞1}；
②當(dāng)a＞0時，-$\frac{1}{a}$＜1，所以原不等式的解集為{x|x＜-$\frac{1}{a}$，或 x＞1}；
③當(dāng)-1＜a＜0時，-$\frac{1}{a}$＞1，所以原不等式的解集為{x|1＜x＜-$\frac{1}{a}$ }．

點評 本題主要考查一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．